Suele decirse que la filosofía es un modo de conocimiento puramente racional o lógico. Las cosas de las que habla el filósofo son tan abstractas que no cabe verlas o comprobarlas con experimentos científicos. Esto distingue a la filosofía de las ciencias empíricas (aquellas que hacen experimentos para probar sus teorías). ¿Pero qué distingue a la filosofía de otras ciencias, como las matemáticas, que también parecen ser puramente lógicas?...
... Las diferencias son muchas. Por ejemplo: la matemática solo trata de aspectos de la realidad que se puede contar y medir, y la filosofía de aspectos que, en ocasiones, carecen de extensión (no se pueden medir) e incluso de partes sucesivas (no se pueden contar)... Pero hay otra diferencia quizás más fundamental: la filosofía no acepta ninguna idea que carezca de lógica, pero las ideas fundamentales de las matemáticas parecen, en cambio, imposibles de demostrar con la lógica.
Pensemos en la idea de número (la idea fundamental de la aritmética). ¿Puede haber más de un número, por ejemplo, dos? El dos son dos unidades (dos “unos”), pero estas unidades son idénticas (1=1), luego no pueden ser dos, para que fueran dos tendrían que ser diferentes una de otra (o, más bien, una de una). De otro lado entre el uno y el dos hay un número ilimitado de números, pero ¿cómo puede estar lo ilimitado limitado entre el uno y el dos? Finalmente, el dos es ilimitadamente divisible (1, 0.5, 0.25, etc.); el final de esta división, si lo hubiera, sería lógicamente "cero": el dos se compondría de infinitos ceros, pero ¿cómo la suma de infinitos ceros va a dar como resultado “dos”? Y si ese final nunca se alcanza tendríamos el mismo problema de antes: ¿cómo un número ilimitado de números puede estar comprendido en los "límites" del dos?
Con la otra idea básica de las matemáticas, la idea de espacio (fundamental en la geometría), ocurre exactamente lo mismo. Imaginemos un espacio pequeñito, tal como el segmento AB; esta línea es una sucesión de muchos puntos todos idénticos; pero ¿si son idénticos como pueden ser muchos? (sólo cabría distinguirlos por el espacio que ocupan, pero justamente el espacio es lo que se trata de demostrar). De otro lado, entre un punto y otro de esa línea ha de haber siempre otro punto, con lo cual la línea AB sería a la vez finita e infinita. Finalmente, si los puntos matemáticos son inextensos (no tienen cuerpo), su dimensión espacial es cero; pero ¿cómo puede tener longitud una línea compuesta de puntos cada uno de ellos de cero longitud?...
¿Son pues, lógicas, las ideas fundamentales de las matemáticas? ¿Es la matemática un saber tan lógico como parecía? ¿Qué os parece (lógicamente hablando)?
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Hola soy Nerea de 1ºC jeje
ResponderEliminarYo no sé sinceramente... quizás hay una parte de las matemáticas que no sea lógica , pero a partir de unos razonamientos lógicos obtenemos unos ejercicios , por ejemplo que el seno de un triángulo rectángulo se averigua dividiendo el cateto opuesto y la hipotenusa y ha partir de ahí tu puedes hallar cualquier seno , a lo mejor no se sabe como se llegó a esa conclusión por lo tanto no es lógico , pero sabiendo que Sin= a/c podemos deducir logicamente cualquier seno.
Aunque si lo piensas mucho probablemente no sean tan lógicas como parecen, eso explicaría porque no me llevaba bien con ellas jejeje
Hola Nerea.
ResponderEliminarSí, jaja, eso se resuelve no pensando mucho. Bueno, en serio. Nadie cree ni dice que las matemáticas carezcan de lógica; las matemáticas son lógicas y mucho (mucho más que otras ciencias, y mucho más que los mitos y otros saberes). Lo que decimos en la entrada es que sus ideas más fundamentales (la idea de número, por ejemplo) carecen de una demostración lógica (o empírica). Esto, la verdad, no es extraño. Todas las ciencias parten de ideas que no pueden demostrar y a las que se llama "axiomas" o "términos primitivos", o cosas así (en física, por ejemplo, la noción de "energía"). Una vez que el matemático acepta una definición adecuada (pero ¡no fundamentada!) de estas ideas, ya todo lo demás es (casi) coser y cantar. Del mismo modo que en física, una vez aceptada una cierta noción (no fundamentada) de energía, ya se pueden definir y trabajar con las demás ideas (fuerza, partícula, etc.). Digamos que las mates no son fundamentalmente lógica (no lo son en cuanto a sus fundamentos), pero en todo lo demás sí (o lo intenta). Pero, insisto, igual es que nosotros somos demasiado exigentes, jeje.
Hola soy Elena León de 1ºC (:
ResponderEliminarYo creo que sí son lógicas pero no totalmente, ya que las matemáticas se tienen que pensar si, pero no tienes que pensar porque 1+1 son 2, porque ya te han dado las fórmulas, no tienes que pensar lógicamente si es verdad o no que 1 y 1 son 2 porque ya esta hecha la fórmula de que es así, creo que para hacer por ejemplo una división no tienes que pensar por lógica si el resultado esta bien o mal si no que tienes que aplicar la fórmula que tenga la división y saber que la haces bien sin tener que pensar el porque ,pensar que si divides 4 entre 2 son 2, lógicamente no lo tienes que pensar de donde sale ese dos, simplemente sabes que así se hace la cuenta ya que 2 por 2 son 4 tienes la fórmula solo hay que pensarla no pensarlo lógicamente, no hay que hacer un experimento ni buscar porque es así, por eso son lógicas ya que hay que pensar la cuenta o la fórmula o lo que sea pero no tienes que pensar porque se hace esa fórmula, si realmente esta bien o algo así entonces no son totalmente lógicas, creo yo, que lío jaja
Hola Elena, es exactamente el lío que dices. Las matemáticas son y no son lógicas. Son lógicas si no las pensamos, como tú dices, y dejan de ser lógicas si las pensamos. Como muy bien indicas, una vez que uno acepta las fórmulas, ya no tiene que pensar casi nada (solo aplicarlas correctamente). Las matemáticas parten de definiciones cuyo último fundamento no es lógico (a lo sumo es "de sentido común", y no siempre, ni mucho menos), pero que se aceptan como válidos porque sí (por principio). Esto pasa en todas las ciencias, y lo que desvela es que las ciencias no son saberes totalmente racionales (dependen de algunas verdades que hay que asumir por...¿fe?).
ResponderEliminarSaludos y piensa que, aunque estás en un lío, estás en el lío correcto (creo yo).
Hola a todos.. Considero las matemáticas como una ciencia totalmente lógica y aunque mas abstracta que muchas otras ciencias mucho menos que la filosofía.
ResponderEliminarLa idea de numero: ¿Cómo un numero ilimitado de números puede estar comprendido en los limites del dos?
Miremos la materia, que sean dos manzanas, una es diferente de otra, pero siguen siendo manzanas, al poner una al lado de la otra tendremos mas de la misma materia así que llamemos a eso “dos manzanas”. Dos manzanas pueden ser divididas en 1, ½, ¼… y así sucesivamente hasta que llegamos a unidades que en materia conocemos como atomos, que al seguir dividiendo nos deja básicamente con energía. Energía que no se crea ni se destruye, cualidad que entiendo que la hace infinita. Y así es como a mi entender lo infinito esta limitado en algo finito.
Si hay formulas que nos enseñan a seguir para obtener resultados cien por ciento correctos, pero no están ahí porque tu profesor lo dice. Se llego a ellas exactamente por análisis lógico que por bien o mal no nos enseñaron a deducir. Igualmente al final el resultado puede ser evaluado en un contexto real (medible o cuantificable).
Nunca había tratado de organizar este pensamiento en palabras, espero haber dado a entender mi idea claramente.
Hola Danny.
ResponderEliminarCreo que intentas justificar la idea de número en la experiencia cotidiana, pero me temo que eso es intentar explicar algo oscuro por algo aún más oscuro y tenebroso. "Dos manzanas" significa que dos cosas, por muy distintas que sean, tienen en común la misma propiedad: "ser manzana", que es idéntica en un objeto y en otro. ¿Cómo es que hay DOS y no UNA, si el "ser manzana es idéntico en todos los casos"? Las únicas respuestas posibles es que UNA se da AQUÍ y OTRA ALLÍ (o UNA la nombro ANTES y la OTRA DESPUÉS). Pero la idea de ESPACIO (AQUI, ALLÍ...) y la de SUCESIÓN (ANTES, DESPUÉS...) son, la una tan problématica como la de número, y la otra es tan indesligable de la noción de número que si la suponemos como válida estamos ya afirmando como válido aquello mismo que queremos justificar. De otro lado, la noción de energía supone algo extenso o espacial (el espacio es energía) y, por ello, divisible hasta el infinito (cualquier parte suya, por pequeña que sea, será también extensa y divisible).
De todos modos, los matemáticos no suelen definir la idea de número acudiendo a la experiencia. Como tú también indicas, la matemática es una ciencia muy abstracta. El dos es una abstracción o idea previa a que la apliquemos a manzanas o a lo que sea. De hecho, vemos o pensamos en "dos manzanas" porque ya tenemos una noción abstracta de lo que es "dos"...
En cuanto a las fórmulas, a algunas se llegó por análisis lógico, como tú dices, y a otras por mera aproximación intuitiva comprobando su funcionalidad y aplicabilidad. De todos modos, no niego que las matemáticas sean saberes lógicos y deductivos UNA VEZ ACEPTADAS CIERTAS DEFINICIONES que no son (ni pueden ser) resultado de ningún análisis o deducción y a los que los matemáticos denominan AXIOMAS.
Te has expresado divinamente, espero que yo también.
Saludos!
wao creo que si pise en algo incomprensible para explicar este dilema logico-matematico, comprendo tu punto. Ya entiendo mas abiertamente el problema, aunque no siento que mi opinion anterior varía en gran medida.
ResponderEliminarLo que si me deja claro es que esos puntos de partidas "no demostrables" al final permiten llegar a conclusiones sorprendente precisas y demostrables (como las grandes obras de ingenieria y arquitectura). Si deja un efecto real, la causa debe ser tambien real y por lo tanto comprobable. Y eso nos deja mas filosofia "por un tubo y siete llaves" jeje.
Hola Danny.
ResponderEliminarLo que si me deja claro es que esos puntos de partidas "no demostrables" al final permiten llegar a conclusiones sorprendente precisas y demostrables (como las grandes obras de ingenieria y arquitectura)
Bueno, un puente o un rascacielos puede ser muy impresionante, pero NO es una "conclusión precisa y demostrable", sino un producto de la aplicación de varios saberes, con la matemática a la cabeza. Un saber no tiene que ser absolutamente lógico para que su aplicación produzca cosas (la religión ha producido guerras santas y catedrales gracias a una fe que mueve montañas y a unas refinadas técnicas artesanales).
Si deja un efecto real, la causa debe ser tambien real y por lo tanto comprobable.
No te creas, te remito al ejemplo de la religión, o al de las alucinaciones (un loco puede hacer muchas barbaridades reales por efecto de creerse que es realmente Napoléon).
Y eso nos deja mas filosofia "por un tubo y siete llaves"
Que vá, los puentes y los rascacielos no nos dejan casi ninguna filosofía (a no ser que un filósofo hubiera escrito al lado del puente argumentos acerca de por qué y para qué hay que construirlo o cruzarlo). Además: no te dejes seducir por esas pijerías tecnológicas: pasarán, como todo en este mundo traidor, por el tubo del tiempo que todo lo convierte en polvo... Pero los argumentos lógicos de esta entrada, esos, no pasarán, son más eternos que tú y que yo. ¿O tienes algo que replicarles? Jeje.
Al perecer mi idea no llego del todo clara. No hablo de que la construcción sea cosa filosofica y mucho menos el loco jejejeje.
ResponderEliminarLos puntos de partidas no demostrables a los que me referia en este caso son los axiomas de los que habias hablado. Decia que a partir de estos se llegan a calculos estructurales que permiten construcciones estables (por ejemplo; las mismas formulas permiten la construccion de muchos puentes en diferentes lugares)y por lo tanto los axiomas (la causa) deben ser logicos aunque no podamos explicarlos en su totalidad.
Lo que quiero desir es que la formula producto de los axiomas es comprobable, correcta y estable (de no ser asi no seria posible la ingenieria). Y como dices la causa primaria de estos saberes no esta totalmente clara y por eso "filosofia por un tubo y siete llaves".
Hola Danny.
ResponderEliminarAhora te entiendo mejor. Aunque no esté muy de acuerdo. Es cierto que a partir de los axiomas se hacen cálculos y a partir de los cálculos se hacen puentes. Pero no veo de dónde sacas que eso demuestre que los axiomas deben ser lógicos. Los puentes no son realidades lógicas, su estabilidad no es la misma que la de las verdades lógicas (es temporal, no hay puentes eternos -pero sí verdades lógicas eternas-), así que no se puede inferir del hecho de que hay puentes estables el que los axiomas de los que depende su construcción sean verdades lógicas.
Las fórmulas de los ingenieros son tan comprobables, correctas y estables como los axiomas de los que dependen, y los puentes son tan comprobables, correctos y estables como tales fórmulas y axiomas. Es decir, que las tres cosas son: comprobables a medias, corregibles, y estables durante un tiempo (y eso sólo los mejores). Esa inestabilidad la demuestra el hecho de que tanto la matemática como la ingenieria progresen (si progresan es porque es son capaces de corregirse y porque hay cosas -axiomas, fórmulas, puentes- corregibles).
Saludos!
Hola de nuevo.
ResponderEliminarCreo que ya dimos un gran salto. No pretendo decir que alguna ciencia puede construir algo perfecto, es un tema aparte. Solo pretendo desir que la formula para calcular una extructura permite un resultado real y correcto, por lo que las bases tambien deben ser reales y correctas y por lo tanto deben tener algo de logica.
Aunque me hisiste ver que tal vez no sean perfectas.. desperfectos habra en todo el trayecto.
Muy buen tema, hoy solo me he conectado para darle seguimiento. :)
Hola Danny.
ResponderEliminarBueno, que ni los principios de las matemáticas ni las aplicaciones de las matemáticas son perfectas a mi me parece muy claro. Pero estoy de acuerdo contigo en que tienen algo de lógico (como todo, por otra parte, porque incluso lo más ilógico ha de ser lógicamente comprensible como algo ilógico).
Lo que quería hacerte ver es que el mundo que tu llamas real (el mundo observable) no es piedra de toque para calibrar asuntos lógicos: la lógica refiere ideas atemporales, independientes de toda experiencia del mundo: las leyes lógicas son válidas en sí mismas, y lo serían incluso si no existiera este mundo. Una teoría podría ser perfectamente lógica y no tener aplicación ninguna en el mundo que experimentamos. Y, desde luego, muchas teorías en absoluto lógicas (como las doctrinas religiosas) causan efectos reales en dicho mundo.
La lógica, en fin, no tiene que ver con este mundo. Y la matemática, como tú bien intuyes, es lo que intenta mediar entre la lógica y dicho mundo. Pasa que el precio a pagar por esa mediación es el carácter ilógico de sus axiomas (en el fondo, el único "argumento" para aceptar la idea de número y la idea de espacio es la creencia en la pluralidad y extensión de las cosas de este mundo, asunto que es ontológicamente muy debatible).
Un saludo y muchas gracias por tus aportaciones.
Saludos.
ResponderEliminarMe convences de que algo lógico no es necesariamente aplicable en nuestro mundo de sentidos. Ahora, los números son entidades abstractas basadas en ,como bien explicas, la creencia de pluralidad y extensión. Pero son también invariables en ellos mismos, en sus operaciones y formas de tratarlos (5x2=10 como sea que se vea, debido a que las relaciones matemáticas no cambian), cualidad que mi entender los hace entidades lógicas.
De no ser como hasta ahora lo comprendo, de verdad me hurgue saber ¿cuales son las cualidades que definen algo como lógico?
Es un buen blog y gracias a ti por las lecciones.
Hola Danny.
ResponderEliminarTu reflexión me parece muy oportuna e inteligente, y nos lleva muy lejos. Pero intentaré ser breve.
¿Qué define algo como lógico? La invariabilidad es uno de los rasgos, pero no el único. Por ejemplo, una contradicción o falsedad lógica es igualmente eterna o invariable (es invariablemente ilógico que "A sea noA"). Las verdades lógicas son, además de invariables, aquellas que se demuestran deductivamente de principios igualmente lógicos y en el marco de un sistema con ciertas características: consistencia (no contradicción), decibilidad (de todo enunciado del sistema podemos decidir si es deducible o no), etc.
¿Qué ocurre con los números? Bueno, es complejo. Podrían ser totalmente ilógicos y ser a la vez "verdades eternas" (como acabo de decir). Pero yo no creo que sean totalmente ilógicos (ni los números ni los puentes que construye el ingeniero utilizándolos). Es obvio que 2+2=4 es más lógico que 2+2=7; los números tienen su lógica interna (las leyes y teoremas de la aritmética), y esa lógica interna depende de aceptar ciertos axiomas de los que se eliminan sus problemas lógicos: si aceptamos (sin demostración) que "1" es diferente de "1" y que por tanto se puede sumar para dar lugar al "2", la aritmética funciona y nos permite, además, explicar un mundo que también admitimos (sin demostración racional) como plural (lleno de cosas distintas). Naturalmente, tu pregunta creo que va más allá: ¿cómo es posible que axiomas indemostrables den lugar a demostraciones tan precisas como las de los teoremas de la aritmética? La respuesta es que tales demostraciones no son tan precisas como creemos, precisan constantemente de definiciones y postulados tan indemostrables como los axiomas y, en conjunto, no pueden sistematizarse como un sistema formal (es decir, como algo lógico -véanse, por ejemplo, los famosos teoremas de incompletitud de Gödel-). Yo vería la matemática como un conjunto de técnicas más o menos precisas y útiles para operar con la realidad, pero no como una ciencia estricta ni fundamentalmente lógica.
Espero haberte aclarado algo o, al menos, haber mostrado mejor lo complejo de este asunto.
Gracias a tí por tus inteligentes precisiones.
Saludos!
Buenas.
ResponderEliminarMe has aclarado que el asunto es mucho mas complejo de lo que pude apreciar en un principio. Tratare de seguir ampliando el conocimiento adentrándome mas en la lógica y en los teoremas de Gödel.
Por cierto soy estudiante de ingeniería y me has hecho darme cuenta de porque me gusta mas estudiar la física que las matemáticas, los problemas son menos abstractos jejeje.
Danny, tienes razón, es asunto tiene miga y merece ser investigado, por abstracto que sea.
ResponderEliminar¿Por qué, qué dirías que es más real, lo abstracto o lo concreto? Fíjate que la física va explicando cada vez mejor lo (que suponemos) real conforme se va matematizando (es decir, haciendo más y más abstracta). Algunos matemáticos actuales han dicho (actualizando a los viejos pitagóricos) que el mundo físico ha de ser por entero reduciblee a matemáticas y que, por tanto, lo real es lo matemático (no lo físico). Así que ojo con darle tanto a la física, a ver si vas a acabar en la mera poesía, jeje.
un saludo!
Buenas....
ResponderEliminarHe buscado informacion sobre los axiomas en matematicas y me dice esto:En Matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas
Yo pienso que lo mejor es no buscar si es lógico y porque si nos ponemos a pensar no seria logico con lo cual ¿para que damos matematicas?¡sería algo ilógico!
Hola Ser Anónimo.
ResponderEliminarUn axioma es una premisa que se considera evidente. ¿Pero por qué se considera evidente? En este caso (el del "dos" o el de la idea de espacio) no será por evidencia "lógica", sino más bien por evidencia ocular (vemos que hay pares de calcetines o que mi cuerpo ocupa espacio en la bañera). Ahora bien, esta evidencia ocular deja también mucho que desear. Pues de verdad de verdad al dos no lo ha visto nunca nadie (¿de qué color es? ¿cuánto mide el dos? ¿dónde vive?...), como tampoco nunca-nadie ha podido ver al espacio (si el espacio fuera algo visible estaría en algún sitio...del ¡espacio!, luego el espacio ocuparía espacio y el espacio del espacio también ocuparía espacio y así hasta que las neuronas crien pelo). Así que, DE EVIDENCIA NADA, más bien VIDENCIA es lo que ha de tener el matemático para considerar axiomas evidentes a la idea de número o la idea de espacio.
En cuanto a lo segundo que dices, parece una frase de Groucho Marx. Pero fíjate que de la lógica no podemos librarnos, pues hasta para pasar de ella la necesitamos (¿o no pretendes acaso que todo eso que dices sea lógico para el que lo lee?). Quitarnos la lógica de encima sería como intentar arrancarnos los dientes a dentelladas.
En cuanto a lo de las mates...Bueno, son útiles (siempre que sepas antes lo que es útil, claro).
Saludos!
OGGGGGGGGGGG de verdad Victor yo esto no lo entiendo ni patras!!
ResponderEliminarAnónimo: prueba palante, dime qué es lo que no entiendes y veremos qué se puede hacer.
ResponderEliminarPues no entiendo porque dices que si unos es igual a uno solo hay uno y no hay dos !
ResponderEliminarHola Anónimo. Imagínate que una cosa fuera ABSOLUTAMENTE IGUAL a otra, sin que hubiera NINGUNA DIFERENCIA entre ellas (ni siquiera que una ocupara un espacio y la otra otro espacio diferente, NI SIQUIERA ESO). Si entre dos cosas no es posible establecer NINGUNA DIFERENCIA entonces tenemos que concluir que son la MISMA COSA, es decir, UNA SOLA. Pues bien, esto pasa con cualquier (supuesto) par de unos: como entre un UNO y otro (supuesto) UNO no hay ninguna diferencia matemática, NO PUEDEN SER DOS. Un UNO y otro (supuesto) UNO no hacen dos, sino UNO, ¡PORQUE SON EL MISMO!
ResponderEliminarEspero haberme explicado, si no, vuelve a preguntar, no te cortes.
un saludo!
vale , ahora eso si lo entiendo pero esque nose a donde quieres llegar con eso ... haber si un uno es igual asi mismo y no puede haber ni 2 ni 3 ni 4 entonces no podemos contar ni decir hay dos cosas ni tres ni 20 ... esque nose a donde quieres llegar
ResponderEliminarAnónimo. ¿Dónde quiero llegar? Donde tú más temes, me temo: a poner en duda lo que tienes tan claro. ¿Y para qué? Para que lo pensemos todo desde el principio (desde lo uno mismo) y no seamos esclavos de los prejuicios. De momento, pensemos esto: si la pluralidad (que haya más de uno) es ilógica, o bien el mundo (que vemos y pensamos) es ilógico, o bien la pluralidad es una de esas apariencias que parecen muy reales hasta que descubrimos que no son más que una ilusión... ¿Qué prefieres creer tú? (¿Y por qué?)
ResponderEliminarSaludos.
prefiero creer que 1+1=2 , para que comerme la cabeza pensado que uno y uno es uno por que es igual asi mismo... y si ,prefiero meterme un lapiz en la nariz , qe me llego al cerebro y quedarme como H.S .... :) mejor eso que asi estoy feliz y no me estoy comiendo la cabeza un saludiitoo pequeñito :)
ResponderEliminarHola Anónimo. Ja, ja... Así que prefieres comer hamburguesas todo el día, como H.S., a comerte la cabeza. Pues ya te pronostico que, aparte de ponerte como una vaca, vas a ser tan feliz como una silla, bueno o tal vez como una lombriz, no más(espero que no te hayas metido ya el lápiz y puedas entender la moraleja de este mensaje). Un saludo!!!
ResponderEliminarjajaja todavia no me he metido el lapiz en lanariz...tengo la esperanza de que me hagas entender por que 1+1 no son dos porque son iguales !
ResponderEliminarHola Anónimo, empiezo por la versión corta. Si 1 y 1 son iguales (quiero decir, idénticos), entonces 1 = 1 , ¿no?. Pero si 1 = 1, estos dos 1 no pueden ser dos, sino uno, concretamente el MISMO (dos cosas absolutamente idénticas son la misma y, por tanto, son una sola, y no dos).
ResponderEliminarHala, vete pensando esto, a ver si es una locura o, por el contrario, un argumento exquisitamente lógico.
Saludos!
hombre , es lógico claro esta.. pero nose esque nose...... no me entra en la cabeza jajajaja :P aaah por cierrto mañana tenemos el examen contigo! lo vamos a hacer?esque falta temario por dar...
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